О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

Современные качественные исследования устойчивости. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с отклоняющимися аргументами. Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 19.10.2005

1

Современные качественные исследования устойчивости

О вариационности некоторых ДУЧП

с отклоняющимися аргументами

И.А. Колесникова

Российский университет дружбы народов

117198, Россия, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

тел.: (095) 952-35-83, e-mail Vsavchin@mx.pfu.edu.ru

Исследована задача существования вариационных принципов для дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами вида

1. Постановка задачи. Пусть N - оператор, заданный в области D(N) линейного нормированного пространства U над полем действительных чисел R, а область значений R(N) принадлежит линейному нормированному пространству V над полем R, т.е.

В дальнейшем всюду предполагается, что в каждой точке

существует производная Гато оператора N, определяемая формулой

(1)

Решается задача существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися аргументами вида

(2)

где -ограниченная область в, с кусочногладкой границей

в предположении достаточной гладкости всех рассматриваемых функций.

Зададим область определения оператора N равенством

(3)

Здесь - заданные функции, - неизвестная функция. Числа зависят соответственно от . Если - четны, то При нечетном полагаем

Обозначим

Введем классическую билинейную форму вида где (4)

Будем говорить, что уравнение (2) допускает прямую вариационную формулировку на множестве D(N), относительно билинейной формы (4), если существует функционал FN: D(FN )=D(N)-->R такой, что

Функционал FN называется потенциалом оператора N, а N - градиентом функционала FN. Записывают N=gradфFN. Оператор N называется потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.

Обозначая через замыкание области , будем предполагать, что - выпуклое множество, , для любых фиксированных элементов функция

Как известно [2., стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора N на множестве D(N) относительно заданной формы является условие симметричности

Искомый функционал в этом случае имеет вид:

где F0 произвольный фиксированный элемент из R.

Для уравнения вида (2) устанавливается, что существует вариационный принцип в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда справедлива

Теорема 1. Для потенциальности оператора (2) на множестве (3) относительно билинейной формы (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

Современные качественные исследования устойчивости

Доказательство теоремы может быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].

2.Примеры.

А. Рассматривается дифференциальное уравнение с отклоняющимися аргументами вида (частный случай уравнения (2))

с граничными условиями

Для решения вопроса о вариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий (6) получим

Отсюда заключаем, что в случае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a-1, a 0 ,a 1 могут зависеть только от x, а b-1, b0, b1 - только от t.

С учетом условий (9), уравнение (7) может быть записано в виде

Таким образом, уравнение (7') c граничными условиями (8) допускает вариационную формулировку.

Соответствующий функционал имеет вид

В. Рассматривается уравнение

где a,b - const, u - неизвестная функция с граничными условиями

Для оператора задачи(10),(11) условия (6) не выполняются. В этой связи рассматривается следующая задача.

Найти функцию [2] М=М(x,t,u,ui) в Щ для любого u из D(N) и соответствующий функционал F[u] так, что

Используя условия (6), находим вариационный множитель М=еu(x,t). Тогда получим, что оператор вида

является потенциальным.

Соответствующее эквивалентное уравнение будет иметь вид:

Таким образом, задача (13'), (11) допускает вариационную формулировку с функционалом

ЛИТЕРАТУРА.

[1] Савчин В.М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с отклоняющимися аргументами.// XXXII Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук. Тезисы докладов.1996г.С. 25.

[2] Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г., Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 40.М.1992.




Подобные документы

  • Происхождение термина "математика". Одно из первых определений предмета математики Декартом. Сущность математики с точки зрения Колмогорова. Пессимистическая оценка возможностей математики Г Вейля. Формулировка Бурбаки о некоторых свойствах математики.

    презентация [124,5 K], добавлен 17.05.2012

  • История становления математики как науки. Период элементарной математики. Период создания математики переменных величин. Создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрельного исчисления. Развитие математики в России в XVIII-XIX столетиях.

    реферат [38,2 K], добавлен 09.10.2008

  • Геометрия как раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре. Основные этапы становления и развития данной науки, ее современные достижения и перспективы.

    презентация [1,9 M], добавлен 21.05.2012

  • Обзор развития европейской математики в XVII-XVIII вв. Неравномерность развития европейской науки. Аналитическая геометрия. Создание математического анализа. Научная школа Лейбница. Общая характеристика науки в XVIII в. Направления развития математики.

    презентация [1,1 M], добавлен 20.09.2015

  • Робота присвячена важливісті математики, їх використанню у різних галузях науки. Інформація, яка допоможе зацікавити учнів при вивченні математики. Етапи розвитку математики. Філософія числа піфагорійців. Математичні формули у фізиці, хімії, психології.

    курсовая работа [347,2 K], добавлен 12.09.2009

  • Греческая математика. Средние века и Возрождение. Начало современной математики. Современная математика. В основе математики лежит не логика, а здравая интуиция. Проблемы оснований математики являются философскими.

    реферат [32,6 K], добавлен 06.09.2006

  • Основные понятия и факты теории линейных операторов. Определение и примеры линейных операторов. Ограниченность и норма линейного оператора. Сумма и произведение линейных операторов. Пространство линейных непрерывных операторов.

    дипломная работа [240,7 K], добавлен 13.06.2007

  • Краткая биография английского математика Дж. Сильвестра. Устойчивость равновесия консервативной системы с конечным числом степеней свободы. Функции Ляпунова и критерий Сильвестра. Пример определения условия устойчивости равновесного положения системы.

    реферат [3,0 M], добавлен 09.11.2010

  • Поняття та зміст математики як наукового напрямку, предмет та методи її вивчення. Характеристика праць та біографічні відомості вчених. Аналіз потенціальних можливостей вітчизняної науки. Метод радикального сумніву у філософії та механіцизму у фізиці.

    презентация [761,5 K], добавлен 04.11.2013

  • Подборка комичных отрывков из конспектов студентов 4-го курса механико-математического факультета и некоторых казусных фраз и высказываний их преподавателей. Сущность и обобщение принципа Максима Понтрягина. Методика доказательства очевидного неравенства.

    учебное пособие [270,9 K], добавлен 28.03.2010